3-3. 통계적 추정 및 가설검정

• 추정량의 결정기준
  • 불편성 : 추정량의 기댓값과 모수의 실제값 사이에 차이가 없으면 불편성을 가졌다 하고, 이러한 추정량을 불편추정량이라 한다.
  • 충분성 : 충분추정량이란 펴본자료가 내포하고 있는 모수에 대한 정보와 지식을 포괄적으로 요약해 주는 추정량, 표본평균은 미지의 모수를 추정하는데 있어 확률표본이 갖고 있는 모든 유용한 정보를 갖고 있다는 의미이다.
  • 효율성 : 불편추정량 중에서 표본분포의 분산이 작은 추정량이 더 효율적
  • 일치성 : 표본의 크기가 커질수록 모수게 가까워지는 성질
    • 체비셰프 부등식
      • 확률변수 $X$ 의 평균이 $ \mu < \infty $ 이고 분산이 $ \sigma^2 < \infty $ 일 때, 임의의 상수 $k$ 에 대해
        $ P( |X - \mu | \geq k \sigma ) \leq \frac{1}{k^2}$
      • 변수와 평균 표준편차와의 관계에 대한 확률의 상한(하한) 제시
      • 체비셰프 부등식에서 구해진 확률은 변수의 분포와 무관하기 대문에 실제값에 비해 상당히 보수적
• 표본의 크기 결정 요소
  
  • 신뢰도 : 신뢰도를 높일수록 표본의 크기는 커야 한다.
  • 표준편차 : 모집단의 분산 또는 표준편차가 클수록 표본의 크기는 커져야 한다.
  • 오차의 크기 : 오차를 작게 하기 위해 표본의 크기를 크게 해야 한다.
  • 비율 추정 시 : 비율의 표본오차는 1/2를 사용하는 것이 안정적
• 표본크기 결정 시 고려사항
  • 표집의 동질성
  • 표집방법과 절차
  • 비용, 시간 및 인력의 한계
  • 카테고리 수
  • 정확성
• 가설검정 순서
  1. 귀무가설 $H_0$ 을 설정한다.
  2. 양측검정 또는 단측검정 중 하나를 택해 $H_1$ 를 설정한다.
  3. 유의수준 $\alpha$ 을 결정하고 기각역을 계산한다.
  4. 표본으로부터 검정통계량을 구한다.
  5. 검정통계량이 기각역에 포함되는지 여부를 확인하거나 또는 유의수준과 유의확률의 크기를 비교해서 가설 채택 여부를 결정한다.
• 검정통계량 계산

$\sigma^2$		사용 분산	사용 분포
알려진 경우		$\sigma^2$ (모분산)	Z-분포 (정규분포의 성질, 중심극한정리)
모르는 경우	대표본 ($n \geq 30$)	$s^2$ (표본분산)	Z-분포 (대수의 법칙)
	소표본 ($n < 30 $)	$s^2$ (표본분산)	t-분포 (정규분포의 성질)